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La enseñanza de la matemática a partir de la resolución de problemas

Instituto De Formación Docente Santa Maria

Tipo de Organismo: Instituto de Formación Docente

Jurisdicción: Misiones

Distrito:

Ejes Temáticos:

Nivel Primario

Modalidad: Presencial

Horas Presenciales: 36 hs.

Horas Virtuales: 0 hs.

Destinatarios: Docentes; Docentes y directivos

“Marco teórico para la selección de la secuencia

La comprensión de los procesos de aprendizaje de las matemáticas que
Realizan los alumnos hoy, ha dado lugar a que podamos pensar en una
Nueva concepción de enseñanza, considerándola como un proceso de
Conducción del aprendizaje que conlleva a una concepción del docente como
Conductor del mismo que se contrapone a la concepción del docente tradicional.
Esta nueva concepción de enseñanza implica la necesidad de que el maestro
Adquiera la competencia de diseñar o seleccionar actividades que promuevan
La construcción de los conceptos a partir de experiencias concretas (situacio
Nes didácticas) en las que los alumnos puedan observar, explorar, conjeturar,
Validar interactuando con el medio, con sus pares y con el docente, ya que el
Éxito de su aprendizaje depende en gran parte de que aparezcan las
Cuestiones anteriormente mencionadas.
Los trabajos de gerard vergnaud han demostrado lo complejo que resulta
El aprendizaje de un concepto, según este, el concepto de fracción, por ejem

Plo forma parte de un campo conceptual que incluye otros conceptos como el de:

Número racional, razón, función lineal – no lineal, multiplicación y división, entre otros,

Es el campo conceptual de las estructuras multiplicativas, cuyo dominio requiere

De un conjunto de situaciones que se resuelvan a partir de las operaciones: multipli

Cación- división. Para su comprensión se requiere de una variedad de situaciones y

La interrelación de varios conceptos, lo que implica un trabajo pensado con conteni

Dos integrados.

De acuerdo con vergnaud (1990), para la conceptualización de un concepto se de

Ben tener muy presentes tres aspectos fundamentales:

1. Las situaciones que le dan sentido.
2. El conjunto de invariantes (objetos, propiedades, teoremas, relaciones, etc.) que se usan para resolver las situaciones.
3. Las diferentes representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos, sentencias formales, etc.) que se usan para representar los invariantes, situaciones y procedimientos.

De aquí que se comprenda que el estudio de los conceptos matemáticos tienen sen
Tido sólo si se analizan las relaciones entre las situaciones, las representaciones
Y entre otros conceptos dando lugar a lo que él denomina campo conceptual. Este
Concepto desarrollado por vergnaud, fue definido en distintos momentos, pero a
Efectos de este trabajo que tiene como objetivo específico reflexionar y ana
Lizar el grado de comprensión de los docentes de primaria sobre determinados
Conceptos matemáticos a partir de sus diferentes significados y representa
Ciones, asumimos la siguiente definición: conjunto De situaciones cuyo dominio requiere, a su vez, el dominio de varios conceptos, procedimientos y representaciones de naturalezas distintas (vergnaud 1995).
En la línea de la didáctica de la matemática, a nuestra manera de ver, la teoría de
Los campos conceptuales (vergnaud, 1990, 1994, 1995) es la que más nociones
Cognitivas ha introducido: el esquema, invariante operatorio, concepto, campo con
Ceptual, sentido de un conocimiento, situaciones.
La noción cognitiva básica para él es la de esquema, a la que describe como la
Organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dadas (verg
Naud, 1990). Dice que es en los esquemas donde se deben investigar los conocimientos en acto del sujeto que son los elementos cognitivos que permiten a la acción del sujeto ser operatoria. Considerándolos como los elementos que sirven de base y evidencian los diversos desempeños.
Para él éstos los que permiten generar un tipo de conducta diferente en función

De las características particulares de cada una de las situaciones de la clase a la

Cual se dirige. Y asegura que esto es posible porque el esquema comprende:

Invariantes operatorios que dirigen el reconocimiento por el sujeto de los elementos pertinentes de la situación, y la recogida de información sobre la situación a tratar
Anticipaciones del fin a lograr y de los efectos que se espera.
Reglas de acción del tipo si… entonces… que permiten generar una consecuencia de acciones del sujeto
Razonamientos que permiten calcular Los procedimientos y anticipaciones a partir de las informaciones y del sistema de invariantes operatorios de los que dispone el sujeto.

Vergnaud, nos propone una noción de concepto sobre la que reposa la operaciona
Lidad de los esquemas, y dice que: una aproximación psicológica y didáctica de la formación de conceptos matemáticos, conduce a considerar un concepto como un conjunto de invariantes utilizables en la acción. La definición pragmática de un concepto pone, por tanto, en juego el conjunto de situaciones que constituyen la referencia de sus diferentes propiedades, y el conjunto de esquemas puestos en juego por los sujetos en estas situaciones (vergnaud, 1990, p. 145).

También en la noción de campo conceptual: la primera descripción que hace
Vergnaud (1990), es la de conjunto de situaciones. Pero aclara que, junto a las
Situaciones, se deben considerar también los conceptos y teoremas que se ponen
En juego en la solución de tales situaciones. En efecto, si la primera entrada de un
Campo conceptual es la de las situaciones, se puede también identificar una según
Da entrada, la de los conceptos y los teoremas (vergnaud, 1990, p. 147).

Interpretamos, de una manera implícita que esta noción también incluye los algo
Ritmos y procedimientos de resolución de los tipos de problemas que se inclu
Yen en los campos conceptuales.
Al igual que la noción de sentido: la que aparece como.. una relación del sujeto a las situaciones y a los significantes. Son los esquemas evocados por el sujeto individual en una situación o por un significante lo que constituye el sentido de esta situación o de este significante para este sujeto. Los esquemas, es decir, las conductas y su organización. El sentido de la adición por ejemplo, para un sujeto individual es el conjunto de esquemas que puede poner en práctica para tratar las situaciones a las cuales es confrontado, y que implican la idea de adición (vergnaud, 1990, p. 158).
Para uno de nuestros casos, el concepto de fracción por ejemplo, el sentido lo

Daría el docente, a través de las relaciones que realiza a partir de las diferentes re
Presentaciones y significados que plantea en una determinada situación problemática
La noción de situación: combinación de tareas, para las cuales es importante conocer sus naturalezas y dificultades propias. Vergnaud (1993, p.9) argumenta que una situación tiene interés didáctico moderado puesto que son instrumentos para el análisis de las dificultades conceptuales, de los obstáculos, de los procedimientos disponibles y de las posibles representaciones.

En lo que respecta a nuestra propuesta de trabajo, las situaciones problema ten

Derían a desencadenar prácticas que permitan que los docentes reflexionen y

Conceptualicen sobre el concepto de la división, la fracción y sus diferentes

Significados, interrelacionándolos con otros conceptos.

Vergnaud reconoce que su teoría fue desarrollada a partir de la contribución de vy

Gotsky, puesto a la importancia atribuida a la interacción social, al lenguaje y a la

Simbolización, en el dominio de un campo conceptual.

Consideramos, una de las tareas más importantes, a la de proveer oportunidades

A los alumnos(en esta oportunidad participantes) para que desarrollen sus esque

Mas en la zona de desarrollo proximal, que fuera definida por vygotsky (1988), como:
la Distancia entre el nivel de desarrollo cognitivo real del individuo, medido por su capacidad de resolver problemas independientemente, y su nivel de desarrollo potencial, medido a través de la solución de problemas bajo la orientación de alguien (un adulto, en el caso de un niño).

La zona de desarrollo proximal define las funciones que están en proceso de madu

Ración. Es una medida del potencial del aprendizaje; y representa el sector en el

Que ocurre el desarrollo cognitivo; el cual es dinámico y cambia constantemente.

Siguiendo con las consideraciones teóricas pertinentes a este trabajo, y haciendo

Referencia al tipo de actividades que pretendemos desarrollar con la resolución de

Problemas en el taller, recurrimos a howard gardner, autor de las inteligencias

Múltiples, quien reconoce que así como hay distintos tipos de problemas que re

Solver, hay distintos tipos de inteligencias que se activan durante este proceso de

Búsqueda de resolución a las situaciones planteadas. Y junto a su equipo de la

Universidad de harvard han identificado específicamente ocho:

La inteligencia lógica- matemática, la lingüística, la espacial, musical, la corporal Kinestésica, la interpersonal, intrapersonal y la naturalista:
Y como la mayoría de los individuos tenemos la totalidad de estas inteligencias. Cada una desarrollada de modo y a un nivel particular, producto de la genética de cada uno, y de la interacción con el entorno. Todos de alguna manera las combinamos y las usamos en diversos grados, de manera personal y única. Para desarrollar nuestra inteligencia que no es otra cosa que la capacidad para:

Resolver problemas (de todo tipo)
Generar nuevos problemas
Crear estrategias de resolución (de todo tipo)
Teniendo en cuenta una educación para la inclusión, y en atención a la diversidad,

Consideramos importante prever en la planificación de las actividades de taller

En la resolución de situaciones problemáticas, consignas que requieran la

Activación de:
La inteligencia corporal- kinestésica que es la capacidad para usar todo el cuerpo en la expresión de ideas y sentimientos. La inteligencia lingüística que es la capacidad de usar las palabras de manera efectiva, en forma oral o escrita que incluye la habilidad en el uso de la sintáxis, la fonética, la semántica y los usos pragmáticos del lenguaje (la explicación).
La inteligencia lógico-matemática que es la capacidad para usar los números de manera efectiva y de razonar adecuadamente e incluye la sensibilidad a los esquemas y relaciones lógicas, las afirmaciones y las proposiciones y otras abstracciones relacionadas .La Que aparecerá con más énfasis durante la resolución de problemas, manifestándose en la capacidad de realizar cálculos y razonar lógicamente.
La inteligencia espacial que aparece con la capacidad de pensar en tres dimensiones y permite percibir imágenes, recrearlas, transformarlas o modificarlas, recorrer el espacio o hacer que los objetos lo recorran y produciendo o decodificando información gráfica.
La inteligencia interpersonal. La inteligencia interpersonal se hace presente con la capacidad de entender a los demás y de interactuar con otros, que aparecerá, durante el trabajo grupal la puesta en común y validación de procedimientos.
La inteligencia intrapersonal: que es la capacidad de construir una percepción precisa respecto de sí mismo, de organizar y dirigir su propia conducta que se manifestará en las reflexiones y razonamientos con sus pares y guías.

Para gardner es evidente que, sabiendo lo que sabemos sobre estilos de apren

Dizajes, tipos de inteligencia y estilos de enseñanza es absurdo que sigamos in

Sistiendo en que todos nuestros alumnos aprenden de la misma manera. Por lo que

Consideramos importante proponer a los docentes situaciones abiertas de manera

Tal que estos puedan percibir que siempre es más productivo presentar un conteni

Do inmerso en una situación problemática que se pueda abordar de formas muy

Diversas, de modo que permitan asimilarlo partiendo de las capacidades indivi

Duales si consideran a sus propios alumnos.

Contamos hoy con varias propuestas sobre la enseñanza de la resolución de

Problemas, y así consideramos autores que clasifican este proceso en fases como ser:

Miguel de guzmán (1994) quien reconoce 4 puntos identificables en este proceso:
La familiarización con el problema.
La búsqueda de estrategias para resolverlos.
La puesta en marcha de la estrategia.
La revisión del proceso y análisis de su consecuencia.

También george pólya (1945) contemplaba cuatro fases para resolver un problema:.

Comprenderlo.
Elaborar un plan.
Ejecutarlo.
Verificarlo.
Nombramos especialmente a schoenfeld, alan (1985), ya que sus trabajos se enmarcan en el procesamiento de la información y se ha centrado en la observación de la conducta de expertos y novatos durante la resolución de problemas.
En este proyecto, consideramos su trabajo en el tipo de reflexiones que buscamos se generen en torno al proceso de resolución de problemas, por lo que compartimos ideas tales como:

En el salón de clase hay que brindar a los alumnos condiciones similares a las que experimentaron los matemáticos en el proceso de desarrollo de las matemáticas.
Para entender cómo los alumnos intentan resolver problemas y consecuentemente proponer actividades que puedan ayudarlos, es necesario discutir estos problemas en diferentes contextos y considerar que en este proceso influyen factores tales como:
El dominio del conocimiento, que son los recursos (o herramientas) matemáticas con las que cuenta el alumno y pueden utilizarlas en el problema; como ser: sus percepciones, intuiciones, definiciones, conocimiento informal, hechos, estrategias y conocimientos de reglas prácticas para trabajar en el dominio.

Estrategias cognoscitivas que incluyen métodos heurísticos que también consideramos como ser:

La descomposición del problema en casos simples,
El establecimiento de metas relacionadas,
Invertir el problema, dibujar diagramas, el uso de material manipulable,
El ensayo y el error, el uso de tablas y listas ordenadas,
La búsqueda de patrones y la reconstrucción del problema.

Estrategias metacognitivas relacionadas con el monitoreo y el control, que aparecen en las decisiones globales con respecto a la selección e implementación de recursos y estrategias; es decir, acciones tales como planificar, evaluar y decidir.
Y tal como lo dice dante, luis,.. enseñar A resolver problemas es más difícil que enseñar conceptos, habilidades o algoritmos matemáticos. No es un mecanismo directo de enseñanza, pero sí una variedad de procesos de pensamiento que necesitan ser cuidadosamente desarrollados por el estudiante con el apoyo e incentivo del docente
Es por ello que en los talleres nos proponemos generar condiciones para que los

Maestros, puedan utilizar sus conocimientos matemáticos como medio para cons

Tatar la verdad o falsedad de una conjetura que derive del proceso de resolución.

Queremos que estos, puedan contemplar como saberes no sólo los conceptos y

Propiedades, sino también considerar los modos de producción propios de la ma

Temática, y que estos puedan construir o reconstruir el sentido de los conocimien

Tos matemáticos, y /o resignificarlos a partir de la resolución de problemas.

Proponemos un espacio para reflexionar acerca de lo realizado, para generar ideas
Matemáticas sobre lo producido. Apelamos a un modo de trabajo durante las socia
Lizaciones para que juntos reconozcamos uno de nuestros mayores desafíos como
Docentes que es el de pensar en la formulación de buenas y disparadoras pre
Guntas, que tiendan a recuperar las producciones de nuestros alumnos para pro
Mover el intercambio y la reflexión entre ellos acerca de cómo lo pensaron o lo re
Solvieron, en lugar de pensarlas como una herramientas de control. Así, podremos
Pedirles que miren cómo lo hicieron, por qué lo pensaron así, de manera tal que
Con nuestras intervenciones e interrogantes- los ayudemos a debatir y a instalar
Nuevas preguntas. Trataremos entonces de destacar que es importante que como
Docentes brindemos a nuestros alumnos las herramientas para que éstos puedan
Construir sus propias herramientas. Proponemos una enseñanza que tenga
Como objeto no sólo un conjunto de conocimientos, sino el desarrollo de capacida
Des relacionadas con el modo de hacer propio de la matemática, y creemos que
Avanzar en este sentido implica ocuparse del papel de la resolución de pro
Blemas en la clase de matemática.
En síntesis nos apoyamos en este marco para proponer la ampliación del tratamien
To didáctico de enseñanza de la división en la escuela primaria, que reconoce la
Necesidad de trabajar intencionalmente los diferentes significados de la operación,
Como así también el reconocimiento de las variables didácticas en diferentes
Situaciones para poder provocar cambios en las estrategias de resolución que se
Utilizan.
por qué la enseñanza de la división

Muchos docentes plantean grandes inquietudes que aparecen en torno a su
Enseñanza: en primer lugar las dificultades de los alumnos para apropiarse del
Algoritmo, especialmente con la división de dos cifras, la ausencia de
Estimación previa y de control de los resultados; la ausencia de la funcionalidad
Del concepto al no reconocerlo como recurso para resolver ciertos tipos de
Problemas. Teniendo en cuenta estas dificultades proponemos revisar su enseñan
Za, y re plantearnos cuestiones centrales de la misma, sobre todo porque es un
Contenido que atraviesa gran parte de la escolaridad básica. En primer lugar,

Como punto de partida, respecto a las actividades, consideramos necesario el

Trabajo sobre las estrategias producidas por los docentes en situaciones de

División, porque las mismas se construyen en base a la comprensión que estos

Tienen del concepto, ya que partiremos de la definición, es decir, què entienden

Por división, para redefinir que pretende la escuela de hoy, respecto de ese

Contenido y reflexionar sobre lo que es importante trabajar del mismo, què

Significa y què implica saber dividir, para direccionarnos en función de las

Competencias que se espera adquieran los alumnos.

Como así también trataremos el algoritmo convencional como objeto de estudio

En la escuela primaria: desde el trabajo con las cantidades globales y la noción de

Agrupamiento hasta el valor posicional.

El marco teórico desde el cual trabajaremos en todo momento es la didáctica de la

Matemática. Consideramos en particular los aportes de brousseau (1986) y

Vergnaud (1990) también entre los principales aportes, consideramos los

Trabajos didácticos de saiz irma, parra cecilia y patricia sadovsky ( 1999, 2000),

Sadovsky, patricia, ana bressan (recursos docentes: ideas para el aula) de

Guzmán miguel, gardner, howard.”